Question

（2014•金山区一模）如图，在?ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求证：AB=3FG；
（2）若AB：AC=

2

：

3

，求证：DF²=DG•DA．

Answer 1

分析：（1）平行四边形的性质、线段中点的定义推知

AF

FC

=

EF

ED

=

1

2

．然后由平行线的性质和平行线分线段成比例得得到：

FG

CD

=

AF

AC

=

1

3

，所以

FG

AB

=

1

3

，即AB=3FG；
（2）根据已知条件可以设AB=

2

k，AC=

3

k，则AE=

2

2

k，AF=

3

3

k．通过证△AEF∽△ACB，得到对应角∠AEF=∠ACB．然后易证△FDG∽△ADF，所以

DF

DA

=

DG

DF

，即DF²=DG•DA．

解答：证明：（1）在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
又∵E是AB的中点，
∴

AF

FC

=

EF

ED

=

1

2

．
∵FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴

FG

CD

=

AF

AC

=

1

3

，
∴

FG

AB

=

1

3

，
∴AB=3FG；

（2）设AB=

2

k，AC=

3

k，
则AE=

2

2

k，AF=

3

3

k．
∴

AE

AC

=

2 2 k

3 k

=

6

6

，

AF

AB

=

3 3 k

2 k

=

6

6

，
∴

AE

AC

=

AF

AB

=

6

6

．
又∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB．
∵FG∥AB，AD∥BC；
∴∠AEF=∠DFG，∠ACB=∠DAF，
∴∠DFG=∠DAF．
又∵∠FDG=∠ADF，
∴△FDG∽△ADF，
∴

DF

DA

=

DG

DF

，
∴DF²=DG•DA．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．