Question

m为给定的有理数，k为何值时，方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的根总为有理根？

Answer 1

解：方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的判别式
△=16（1-m）²-4（3m²-2m+4k）=4m²-24m+16-16k，
∵方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的根总为有理根，
∴△为完全平方式，
∴4m²-24m+16-16k=4（m²-6m+9）-20-16k，
∴-20-16k=0时，△是完全平方式，
解得k=-，
所以m为给定的有理数，k=-时，方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的根总为有理根．
分析：先计算出方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的△，△=16（1-m）²-4（3m²-2m+4k）=4m²-24m+16-16k，要原方程的根总为有理根，则△为完全平方式，即4m²-24m+16-16k是完全平方式时，-20-16k=0时总有有理根，求解即可得到k的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根是有理根的条件为判别式是完全平方数．