Question

如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是

CAD

上一点（不与C，D重合），∠CPD与∠COB有何大小关系？试说明理由；
（2）点P′在

CD

上（不与C，D重合）时，∠CP′D与∠COB又有什么数量关系？为什么？

Answer 1

分析：1、根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
2、根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°-∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．

解答：（1）∠CPD=∠COB．…（1分）
理由：如图所示，连接OD．…（2分）
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，…（3分）
∴∠COB=∠DOB=

1

2

∠COD．…（4分）
又∵∠CPD=

1

2

∠COD，
∴∠CPD=∠COB…（5分）

（2）∠CP'D与∠COB的数量关系是∠CP'D+∠COB=180°…（6分）
理由：∵∠CPD=

1

2

∠COD，∠CP'D=

1

2

（360°-∠COD）=180°-

1

2

∠COD，
∴∠CPD+∠CP'D=180°．…（8分）
由（1）知，∠CPD=∠COB，
∴∠CP'D+∠COB=180°．…（9分）

点评：本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．