Question

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B。已知抛物线y=x²+bx+c过点A和B，与y轴交于点C。

（1）求点C的坐标；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=x²+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式。

Answer 1

解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0）
∵　抛物线过点A和B，则
解得

则抛物线的解析式为：
故　C（0，2）；
（2）如图①，抛物线对称轴l是：x=4
∵Q（8，m）抛物线上
∴m=2
过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6
∴AQ=
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称
∴PQ+PB的最小值=AQ=
；
（3）如图②，连结EM和CM

由已知，得EM=OC=2，CE是⊙M的切线
∴∠DEM=90^o，则∠DEM=∠DOC
又∵∠ODC=∠EDM
故△DEM≌△DOC
∴OD=DE，CD=MD
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC
则OE∥CM
设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0）
∴解得
直线CM的解析式为
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM
则OE的解析式为y=x。