Question

由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”，若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B₁，B₂，B₃，…，B_n和C₁，C₂，C₃，…，C_n分别在直线和x轴上，则第一个阴影正方形的面积为    ，第n个阴影正方形的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先设B₁点坐标为（t，t），由顶点B₁在直线上，即可求得t的值，又由这四个全等的直角三角形有一个角为30°，可求得第一个阴影正方形的边长，则可求得第一个阴影正方形的面积；可设正方形A₂B₂C₂C₁的边长为a，第一个阴影正方形与第二个阴影正方形的相似比为：a：t=2：3，即可求得答案．
解答：解：如图：设B₁点坐标为（t，t），
∴t=-t++1，
解得：t=（+1），
∴A₁B₁=t=（+1），
∵这四个全等的直角三角形有一个角为30°，
∴B₁N₁=A₁B₁=t=（+1），A₁N₁=A₁B₁•cos30°=t=×（+1）=，
∴B₁P₁=A₁N₁=，
∴N₁P₁=B₁P₁-B₁N₁=-=，
∴第一个阴影正方形的面积是：（）²=；
设正方形A₂B₂C₂C₁的边长为a，
∵直线y=-x++1的斜率为-，
∴tan∠B₁B₂A₂==，
在Rt△A₂B₂B₁中，=2，
∴a：t=2：3，
∵N₁P₁=B₁P₁-B₁N₁=（-）t，
同理：N₂P₂=B₂P₂-B₂N₂=（-）a，
∴第一个阴影正方形与第二个阴影正方形的相似比为：a：t=2：3，
∴第一个阴影正方形与第二个阴影正方形的面积比为4：9，
∴第二个阴影正方形的面积为：×=（）²，
∴第三个阴影正方形的面积为：××=（）³，
∴第n个阴影正方形的面积为：（）ⁿ．
故答案为：，（）ⁿ．
点评：此题主要考查了正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质、相似多边形的性质以及一次函数的综合应用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．