Question

在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，顺时针旋转正方形EFGH，如图所示.

（1）小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论. 下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：

①ME＝MA；

②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；

③∠MON保持45°不变.

请你对这三个猜想作出判断（正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的打上“×”）：

①（     ）；②（     ）；③（     ）.

（2）小组成员还发现：（1）中的△EMN的面积S随着旋转角度∠AOE的变化而变化. 请你指出在怎样的位置时△EMN的面积S取得最大值. （不必证明）

（3）上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明；若都是错误的，请选择其一说明理由.

Answer 1

（1）①（√）；②（×）；③（√）.

（2）当∠AOE=45°时，△EMN的面积S取得最大值.

（3）证明：对于猜想①，连结OA、OE、AE. 由已知得OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.

又∵∠OAM＝∠OEM＝45°，∴∠OAE－∠OAM＝∠OEA－∠OEM，即∠MAE＝∠MEA. ∴ME＝MA.

对于猜想③，证得OM平分∠EOA，同理ON平分∠DOE，

∴∠MOE＋∠NOE＝∠AOD＝×90°＝45°，即∠MON保持45°不变.