题目内容
已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD=a，BC=b．（1）当点A、D重合，即a=0时（如图1），试求EF．（用含m，n，b的代数式表示）
（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，
①如图2这种情况时，试求EF．（用含a，b，m，n的代数式表示）
②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．
分析：（1）由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得
=
，根据比例变形，即可求得EF的值；
（2）①连接BD，与EF交于点H，由（1）知，HF=
，EH=
，又由EF=EH+HF，即可求得EF的值；
②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF=
与GC=BC-BG，即可求得EF的值．
| AE |
| BE |
| m |
| n |
（2）①连接BD，与EF交于点H，由（1）知，HF=
| mb |
| m+n |
| na |
| m+n |
②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF=
| mGC |
| m+n |
解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
=
，（1分）
∵
=
，
∴
=
，（1分）
又BC=b，
∴
=
，
∴EF=
；（1分）
（2）①解：如图2，连接BD，与EF交于点H，
由（1）知，HF=
，EH=
，（2分）
∵EF=EH+HF，
∴EF=
；（1分）
②猜想：EF=
，（1分）
证明：连接DE，并延长DE交BC于G，
由已知得：BG=
，（1分
EF=
，（1分）
∵GC=BC-BG，
∴EF=
（BC-BG）=
(b-
)=
．
∴△AEF∽△ABC，
∴
| EF |
| BC |
| AE |
| AB |
∵
| AE |
| BE |
| m |
| n |
∴
| AE |
| AB |
| m |
| m+n |
又BC=b，
∴
| EF |
| b |
| m |
| m+n |
∴EF=
| mb |
| m+n |
（2）①解：如图2，连接BD，与EF交于点H，
由（1）知，HF=
| mb |
| m+n |
| na |
| m+n |
∵EF=EH+HF，
∴EF=
| mb+na |
| m+n |
②猜想：EF=
| mb-na |
| m+n |
证明：连接DE，并延长DE交BC于G，
由已知得：BG=
| na |
| m |
EF=
| mGC |
| m+n |
∵GC=BC-BG，
∴EF=
| m |
| m+n |
| m |
| m+n |
| na |
| m |
| mb-na |
| m+n |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识．此题难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用，注意比例变形．
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