Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．

（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．

解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x²+bx+c中，

得，

解得

∴该抛物线的解析式为y=x²+x﹣4．

（2）令y=0，即x²+x﹣4=0，解得x₁=﹣4，x₂=2，

∴A（﹣4，0），S_△ABC=AB•OC=12．

设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△ABC，

∴，即，

化简得：S_△PBE=（2﹣x）²．

S_△PCE=S_△PCB﹣S_△PBE=PB•OC﹣S_△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）²

=x2﹣x+

=（x+1）²+3

∴当x=﹣1时，S_△PCE的最大值为3．

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；

（II）当MD=MO时，如答图②所示．

过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；

（III）当OD=OM时，

∵△OAC为等腰直角三角形，

∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．

∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．

综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．