题目内容

如图，双曲线y= $数学公式$ 经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为 $数学公式$ ，则k的值是

A.
4
B.
5
C.
6
D.
7

C
分析：作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，设N的坐标是（a，b），根据相似三角形的性质即可表示出A的坐标，从而利用a，b表示出k的值，求得B的坐标，则△OAB的面积即可利用a，b表示出来，从而求得ab的值，则k的值即可求得．
解答：

解：作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F．
则AE∥MN，
∴△AOE∽△NOM，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即AE= $\text{[math]}$ MN，OE= $\text{[math]}$ OM，
同理：NF= $\text{[math]}$ MN，MF= $\text{[math]}$ MN，
设N的坐标是（a，b），则A的坐标是（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ b），
代入y= $\text{[math]}$ 得：k= $\text{[math]}$ ab，
在y= $\text{[math]}$ 中，令x=a，则y= $\text{[math]}$ ，故B的坐标是：（a， $\text{[math]}$ b），即BM= $\text{[math]}$ ，NB=b- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴S_△OBM= $\text{[math]}$ OM•BM= $\text{[math]}$ a• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
S_△ABN= $\text{[math]}$ BN•AF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ ，
又∵S_△OMN= $\text{[math]}$ ab，
∴S_△OAB= $\text{[math]}$ ab- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ ，
∴ab= $\text{[math]}$ ．
∴k= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =6．
故选C．
点评：本题是待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质的综合应用，正确表示出B的坐标是关键．