Question

如图，点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）在抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的同侧 （点E在点F的左侧），过点E、F分别作x轴的垂线，分别交x轴于点B、D，交直线y=2ax+b于点A、C，设S为直线AB、CD与x轴、直线y=2ax+b所围成图形的面积．则S与y₁、y₂的数量关系式为：S=

 

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Answer 1

分析：首先根据题意可求得：y₁，y₂的值，A与C的坐标，即可用x₁与x₂表示出AB，CD，BD的值，易得四边形ABCD是直角梯形，即可得S=

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（AB+CD）•BD，然后代入其取值，整理变形，即可求得S与y₁、y₂的数量关系式．

解答：解：根据题意得：y₁=ax₁²+bx₁+c，y₂=ax₂²+bx₂+c，
点A的坐标为：（x₁，2ax₁+b），点C的坐标为：（x₂，2ax₂+b），
∴AB=2ax₁+b，CD=2ax₂+b，BD=x₂-x₁，
∵EB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是直角梯形，
∴S=

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2

（AB+CD）•BD=

1

2

（2ax₁+b+2ax₂+b）（x₂-x₁）=a（x₂+x₁）（x₂-x₁）+b（x₂-x₁）=（ax₂²+bx₂）-（ax₁²+bx₁）=（ax₂²+bx₂+c）-（ax₁²+bx₁+c）=y₂-y₁．
∴S与y₁、y₂的数量关系式为：S=y₂-y₁．
故答案为：y₂-y₁．

点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用问题．此题难度较大，解题的关键是抓住点与函数的关系，注意根据整式的运算法则将原整式变形，注意数形结合思想的应用．