Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=

1

，点Q到AC的距离是

8

5

；
（2）在点P从C向A运动的过程中，将△APQ的面积S用关于t的代数式来表示；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t所有可能的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得CP=2，则可得AP=1，过点Q作QF⊥AC与F，则可得QF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，易得AQ：AB=QF：BC，又由勾股定理求得BC的长，即可求得QF的长，即点Q到AC的距离；
（2）过点Q作QF⊥AC于点F，AQ=CP=t，即可得AP=3-t，QF∥BC，可得△AQF∽△ABC，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得QF的长，继而求得△APQ的面积；
（3）分别从当DE∥QB时与当PQ∥BC时，去分析求解，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）如图1：过点Q作QF⊥AC于F，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴QF∥BC，BC=

AB2-AC2

=4，
∴AQ：AB=QF：BC，
∵t=2，
∴AQ=2，CP=2，
∴AP=AC-CP=3-2=1，
∴2：5=QF：4，
∴QF=

8

5

，
故答案为：1，

8

5

；

（2）如图2，过点Q作QF⊥AC于点F，AQ=CP=t，
∴AP=3-t，QF∥BC，
∴△AQF∽△ABC，
∴

QF

BC

=

AQ

AB

，
即

QF

4

=

t

5

，
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

AP•QF=

1

2

×（3-t）×

4

5

t=-

2

5

t²+

6

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t；

（3）能．
①当DE∥QB时，如图3．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
∴∠AQP=∠C=90°，∠A是公共角，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

． 
解得：t=

9

8

；
②如图4，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

． 
解得：t=

15

8

．
综上所述，当t=

9

8

或

15

8

时，四边形QBED是直角梯形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及直角梯形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意掌握辅助线的作法．