Question

【题目】如图1，直线y= x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y= x2+bx+c经过点B，点C的横坐标为4．

（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x（0＜x＜4），矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；

（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1 ， 点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1 ． 若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线l：y= x+m经过点B（0，﹣1），

∴m=﹣1，

∴直线l的解析式为y= x﹣1，

∵直线l：y= x﹣1经过点C，且点C的横坐标为4，

∴y= ×4﹣1=2，

∵抛物线y= x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣1；

（2）

解：令y=0，则 x﹣1=0，

解得：x= ，

∴点A的坐标为（ ，0），

∴OA= ，

在Rt△OAB中，OB=1，

∴AB= = = ，

∵DE∥y轴，

∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DEcos∠DEF=DE = DE，

DF=DEsin∠DEF=DE = DE，

∴l=2（DF+EF）=2（ + ）DE= DE，

∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），

∴D（t， t2﹣ t﹣1），E（t， t﹣1），

∴DE=（ t﹣1）﹣（ t2﹣ t﹣1）=﹣ t2+2t，

∴l= ×（﹣ t2+2t）=﹣ t2+ t，

∵l=﹣ （t﹣2）2+ ，且﹣ ＜0，

∴当t=2时，l有最大值 ．

（3）

解：“落点”的个数有4个，如图1，图2，图3，图4所示．

如图3中，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m+ ，

∴ m2﹣ m﹣1= （m+ ）2﹣ （m+ ）﹣1，

解得：m= ，

如图4中，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m+ ，B1的纵坐标比例A1的纵坐标大1，

∴ m2﹣ m﹣1+1= （m+ ）2﹣ （m+ ）﹣1，

解得：m= ，

∴旋转180°时点A1的横坐标为 或 ．

【解析】（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到C点纵坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出l，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到l与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，旋转角是180°判断出A1O1∥x轴时，B1A1∥AB，根据图3、图4两种情形即可解决．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．