Question

如图，半圆

AB

的圆心是C，半径是1，点D在半圆

AB

上，且CD⊥AB，分别延长BD，AD到E，F，使得圆弧

AE

和

BF

分别以B和A为它们的圆心，圆弧

EF

以D为圆心，求阴影部分AEFBDA的面积．

Answer 1

分析：由弧AB为半圆，C为圆心，CD⊥AB，得到△ADB为等腰直角三角形，CA=CB=1，则AD=BD=

2

2

AB=

2

，∠EDF=90°，得到DE=DF=2-

2

，而S_{阴影部分AEFBDA的面积}=S_扇形DEF+S_扇形BAE+S_扇形ABF-S_半圆AB-S_△ADB，然后分别根据扇形和三角形的面积公式计算即可得到阴影部分AEFBDA的面积．

解答：解：∵弧AB为半圆，C为圆心，CD⊥AB，
∴△ADB为等腰直角三角形，CA=CB=1，
∴AD=BD=

2

2

AB=

2

，∠EDF=90°，
∴DE=DF=2-

2

，
∴S_扇形DEF=

90π×(2- 2 )2

360

=

(3-2 2 )π

2

；
∴S_{阴影部分AEFBDA的面积}=S_扇形DEF+S_扇形BAE+S_扇形ABF-S_半圆AB-S_△ADB，
=

(3-2 2 )π

2

+2×

45π×22

360

-

1

2

π×1²-

1

2

×2×1，
=2π-

2

π-1．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

nπR2

360

，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=

1

2

lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了圆周角定理及其推论．