Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：DE=FE；
（2）若BC=3，AD=2，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，BE．
∵∠ACB=90°，AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，OE⊥AC，
∴OE∥BC；
∵DO=OB，
∴OE是△DBF的中位线，
∴E是DF的中点，
∴DE=EF；

（2）解：∵OE∥BC，
∴Rt△ABC∽Rt△AOE，
∴=；
设⊙O的半径是r，则有，
解得r=2，∴BD=4；
∵OD=OE（⊙O的半径），
∴∠ODE=∠OED（等边对等角）；
由（1）知OE∥BC，
∴∠OED=∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∴∠BDF=∠BFD（等量代换），
∴BF=BD=4（等角对等边）．
分析：（1）连接OE，易证OE∥BC；由圆的性质知点O是BD的中点，则OE是△DBF的中位线；最后根据中位线的定义证得DE=FE；
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解．
点评：本题考查了圆的综合题．解答（2）题时，也可以利用“平行线截线段成比例”来求⊙O的半径．