Question

【题目】问题背景：如图1：在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系，小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图2），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=

CD，从而得出结论：AC+BC=CD.

（1）简单应用：在图1中，若AC=，BC=2，则CD= .

（2）拓展规律，如图3，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD,若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

（3）如图4，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=AC，CE=CA,点Q为AE的中点，直接写出线段PQ与AC的数量关系是 .

Answer 1

【答案】（1）CD=3 ; （2）CD=;（3）PQ=AC.

【解析】

（1）根据材料中给出的关系AC+BC=CD代入数据求解即可（2）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长⊙O于点D1，连接D1A,D1B，D1C，结合圆的性质和勾股定理求解.（3）根据已知的条件，分情况作图解答，注意E在直线AC的位置.

解：（1）由题意知AC+BC=CD，将AC=，BC=2，代入求得CD=3

（2）

以AB为直径作⊙O，连接OD并延长⊙O于点D1，连接D1A,D1B，D1C，如图，由题目可知：AC+BC=D1C, ∴D1C= ，又∵D1D是⊙O的直径，∴∠DCD1=90°，AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：AB=m+n，∴D1D=AB=m+n∵D1C+CD=D1D，

∴= m+n- ，∵m＜n，∴CD=

（3）

当点E在直线AC的左侧时，如图，
连接CQ，PC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
点P是AB的中点，
∴AP=CP，∠APC=90°，
又∵CA=CE，点Q是AE的中点，
∴∠CQA=90°，
设AC=a，
∵AE=AC，
∴AE=a，
∴AQ=AE=a，
由勾股定理可求得：CQ=a，
由（2）的证明过程可知：AQ+CQ=PQ，
∴PQ=a +a，
∴PQ=AC

当点E在直线AC的右侧时，如图，
连接CQ、CP，
同理可知：∠AQC=∠APC=90°，
设AC=a，
∴AQ=AE=a，
由勾股定理可求得：CQ=a，

由（2）的结论可知：PQ=（CQ-AQ），
∴PQ=AC
综上所述，线段PQ与AC的数量关系是PQ=AC.