Question

【题目】如图，矩形中，于，平分与交于点.

（1）求证：；

（2）若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC即可；

（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于， ，就可以求出CE的长,要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得，其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题.

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，

∴∠CDB+∠DBC=90°.

∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB=90°.

∴∠ECB=∠CDB.

∵∠CFB=∠CDB+∠DCF，∠BCF=∠ECB+∠ECF，∠DCF=∠ECF，

∴∠CFB=∠BCF

∴BF=BC

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=4（cm），BC=AD=3（cm）.

在Rt△BCD中，由勾股定理得.

又∵BD·CE=BC·DC，

∴

∴

∴

∴.