题目内容
20、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠BAC交CD于E，交BC于F，EG∥AB交BC于G，说明BG=CF的理由．分析：过E作FH⊥AB于H，利用AAS判定Rt△CEG≌Rt△FHB，从而得到CG=FB，即CF=GB．
解答：解：过F作FH⊥AB于H，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∴FH=FC．
∴AH=CE．
∵EG∥AB，
∴∠CGE=∠FBH．
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴∠CFG=∠FDB=90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵∠CGE=∠FBH，∠CEG=∠FHB，CE=FH，
∴Rt△CEG≌Rt△FHB．
∴CG=FB．
∴CF=GB．
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∴FH=FC．
∴AH=CE．
∵EG∥AB，
∴∠CGE=∠FBH．
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴∠CFG=∠FDB=90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵∠CGE=∠FBH，∠CEG=∠FHB，CE=FH，
∴Rt△CEG≌Rt△FHB．
∴CG=FB．
∴CF=GB．
点评：此题主要考查学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．正确作出辅助线是解答本题的关键．
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