Question

如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB．M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．

Answer 1

分析：连接AC和BD，根据垂径定理得BC=BD，再由已知条件可以证得△BCD∽△OCA，则

CB

CO

=

CD

CA

，还可以证明△CDN∽△CAM．有相似三角形的性质，证出BN=CN．

解答：证明：连接AC和BD．
∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．（5分）
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA．
∴

CB

CO

=

CD

CA

（15分）
在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM．（20分）
∵

CN

CM

=

CD

CA

=

CB

CO

=

CB

2CM

，
∴CN=

1

2

CB，即BN=CN．（25分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理，解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．