题目内容
如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．
①若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长；
②若AB=10，OA=13，请直接写出OP的长．
分析：（1）由AB∥OC，得∠C=∠BAC，而∠C=∠OAC，得到∠BAC=∠OAC；
（2）①由OE⊥AB，AB=2，得AE=
AB=1，再由∠AOE=30°，∠OEA=90°，得到OE=
AE=
，然后根据AB∥OC，得到
=
，即
=
，利用比例的性质即可得到PE．
②和①的方法一样，先根据垂径定理得到AE=5，根据勾股定理得OE=
=12，再利用AB∥OC，得到
=
，利用比例的性质即可得到OP．
（2）①由OE⊥AB，AB=2，得AE=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| PE |
| OP |
| OC |
| AE |
| PE |
| OP |
| 1 |
| 2 |
②和①的方法一样，先根据垂径定理得到AE=5，根据勾股定理得OE=
| 132-52 |
| OP |
| PE |
| OC |
| AE |
解答：（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；
（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴AE=BE=
AB=1，
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE=
AE=
，
∵AB∥OC．
∴
=
，即
=
，
∴
=
，
∴PE=
OE=
；
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE=
=12，
∵AB∥OC．
∴
=
，
∴
=
，
∴OP=
×12=
．
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；
（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴AE=BE=
| 1 |
| 2 |
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE=
| 3 |
| 3 |
∵AB∥OC．
∴
| PE |
| OP |
| OC |
| AE |
| PE |
| OP |
| 1 |
| 2 |
∴
| PE |
| OE |
| 1 |
| 3 |
∴PE=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE=
| 132-52 |
∵AB∥OC．
∴
| OP |
| PE |
| OC |
| AE |
∴
| OP |
| OE |
| 13 |
| 13+5 |
∴OP=
| 13 |
| 18 |
| 26 |
| 3 |
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理、平行线的性质、三角形相似的性质以及比例的性质．
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