题目内容
如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以
cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠BAC=
∠DAB。
又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。
如图1，连接BD交AC于O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC。
∴OB=AB=1。∴OA=
，AC=2OA=2。
运动ts后，AP=t，AO=t，∴
。
又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.
∴PQ∥BC.
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=
。
由PM=PQ=AQ=t，即
=t，解得t=
，
此时⊙P与边BC有一个公共点。
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。
∴当
时，⊙P与边BC有2个公共点。
如图4，
⊙P过点C，此时PC=PQ，即
=t
∴t=
。
∴当1≤t≤时，⊙P与边BC有一个公共点。
当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，
此时，⊙P与边BC有一个公共点。
综上所述，当t=或1≤t≤或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当时，⊙P与边BC有2个公共点。
∴AB=BC=2，∠BAC=
∠DAB。又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。
如图1，连接BD交AC于O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=
AC。∴OB=
AB=1。∴OA=，AC=2OA=2。运动ts后，AP=
t，AO=t，∴。又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.
∴PQ∥BC.
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=
。由PM=PQ=AQ=t，即
=t，解得t=，此时⊙P与边BC有一个公共点。
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。
∴当
时，⊙P与边BC有2个公共点。如图4，
⊙P过点C，此时PC=PQ，即
=t∴t=
。∴当1≤t≤
时，⊙P与边BC有一个公共点。当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，
此时，⊙P与边BC有一个公共点。
综上所述，当t=
或1≤t≤或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当时，⊙P与边BC有2个公共点。直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。
（2）分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。
【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。
（2）分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。
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