Question

【题目】如图，在中，，D是AB上的点，过点D作交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，，则下列结论正确的有______ 将所有正确答案的序号都填在横线上

；；是等边三角形；若，则．

Answer 1

【答案】

【解析】

由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得①∠DCB=∠B正确；

由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正确；

易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；

由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．

∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，

∵∠DCA=∠DAC，

∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；

∴CD=BD，

∵AD=BD，

∴CD=AB；故②正确；

∠DCA=∠DAC，

∴AD=CD，

但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；

∵若∠E=30°，

∴∠A=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ADC=30°，

∵∠ADE=∠ACB=90°，

∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，

∴CF=DF，

∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．

故答案为：①②④．