Question

已知：x⁷-1=0，则y=

x

1+x2

+

x2

1+x4

+

x3

1+x6

=

 

．

Answer 1

分析：首先将x⁷-1=0分解得出（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=0，再分析两式分别等于0时的情况，由x⁷-1=0，得出x⁷=1，即x⁸=x•x⁷=x，x⁹=x²•x⁷=x²，x¹⁰=x³•x⁷=x³，x¹¹=x⁴•x⁷=x⁴，x¹²=x⁵•x⁷=x⁵，然后将原式分别通分，求出y的值．

解答：解：∵x⁷-1=0
∴（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=0
∴x=1或x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0
当x=1时，原式=

1

2

+

1

2

+

1

2

=

3

2

；
当x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0
∵x⁷-1=0
∴x⁸=x•x⁷=x，x⁹=x²•x⁷=x²，x¹⁰=x³•x⁷=x³，
x¹¹=x⁴•x⁷=x⁴，x¹²=x⁵•x⁷=x⁵，
则原式=y=

x+x5+x4+x2

1+x2+x4+x6

+

x3

1+x6

= 2(1+x+x2+x3+x4+x5) 1+x2+x4+x6+x6+x8+x10+x12 = -2x6 1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x6 =-2

故答案为：-2或

3

2

．

点评：此题主要考查了高次项多项式的因式分解，以及分式的加减运算，得出由x⁷-1=0，得出x⁷=1，进而得出x⁸=x•x⁷=x，x⁹=x²•x⁷=x²，x¹⁰=x³•x⁷=x³，x¹¹=x⁴•x⁷=x⁴，x¹²=x⁵•x⁷=x⁵，是解决问题的关键．