Question

如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，AB=8，F是OB的中点，连接DF并延长交⊙O于G，求弦DG的长．

Answer 1

（本题6分）
（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，∴∠A=∠1．
∵BA=BC，∴∠A=∠C．
∴∠1=∠C．
∵DE⊥BC，垂足为E，
∴∠2+∠C=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠ODE=90°．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．（3分）

（2）解：连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，AB=8，
∴DB=4，∠ABD=60°．（4分）
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形．
∵F是OB的中点，
∴DG⊥AB．
∴FD=FG．（5分）
在Rt△BDF中，∠ABD=60°．
∴DF=BD•sin60°=．
∴DG=．（6分）
分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．
（2）连接BD，证得△ODB是等边三角形后即可得到FD=FG，然后在Rt△BDF中选择合理的边角关系求得DF，进而求得DG的长即可．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．