Question

【题目】已知△．

（1）在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）在（1）的条件下，若点、分别是边和上的点，且，连接求证：；

（3）如图，在（1）的条件下，点、分别是、边上的点，且△的周长等于边的长，试探究与的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）与的数量关系是，理由见解析.

【解析】

（1）利用基本作图作∠ABC的平分线；利用基本作图作BC的垂直平分线，即可完成；
（2）如图，设BC的垂直平分线交BC于G，作OH⊥AB于H，

用角平分线的性质证明OH=OG，BH=BG，继而证明EH =DG，然后可证明,于是可得到OE=OD；

（3）作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，利用(2)得到 CD=BE，，OE=OD，,,可证明,故有,由△的周长=BC可得到DF=EF,于是可证明,所以有,然后可得到与的数量关系.

解：（1）如图，就是所要求作的图形；

（2）如图，设BC的垂直平分线交BC于G，作OH⊥AB于H，

∵BO平分∠ABC，OH⊥AB，OG垂直平分BC，
∴OH=OG，CG=BG，

∵OB=OB,

∴,
∴BH=BG，
∵BE=CD，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，

在和中,

,

∴,
∴OE=OD．

（3）与的数量关系是，理由如下；

如图，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，

由(2)可知，因为 CD=BE，所以且OE=OD，

∴,,

∴,

∴,

∵△的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC

∴DF=EF,

在△和△中,

,

∴,
∴,

∴,

∴.