Question

如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．
（1）计算S_△AOB；
（2）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S_△POA=S_△AOB时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）

Answer 1

分析：（1）过点O作OD⊥AB于点D，由于OA=OB，∠AOB=120°，故∠AOD=60°，由直角三角形的性质可知∠OAD=30°，故OD=

1

2

OA=1cm，AD=OA•cos30°=

3

，故AB=2

3

，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）过O点作OC⊥AB于C，由OA=2cm，∠AOB=120°，可计算出S_△AOB，而S_△POA=S_△AOB，得到P点到OA的距离，得到OA与OP的夹角，再利用弧长公式即可计算出P点所经过的弧长．

解答：解：（1）如图1，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

1

2

OA=1cm，
∴AD=OA•cos30°=

3

，AB=2AD=2

3

，
∴S_△AOB=

1

2

AB•OD=

1

2

×2

3

×1=

3

；

（2）如图2，
∵S_△POA=S_△AOB=

3

，OA=2，
∴P点到OA的距离为

3

，
∵OP=2，
∴∠AOP=60°或120°或300°，

点P所经过的弧长为

60•π•2

180

=

2π

3

或

120•π•2

180

=

4π

3

或4π-

2π

3

=

10π

3

．
故答案为：

2π

3

或

4π

3

或

10π

3

．

点评：本题考查的是垂径定理及弧长的计算公式，熟记弧长公式是解答此题的关键．