Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°．将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转，得△A′B′C，斜边A′B′分别与BC、AB相交于点D、E，直角边A'C与AB交于点F．若CD=AC=2，则△ABC至少旋转

 

度才能得到△A′B′C，此时△ABC与△A′B′C的重叠部分（即四边形CDEF）的面积为

 

．

Answer 1

分析：在60°的直角三角形中，由于AC=2，可求AB=A′B′=4，而CD=

1

2

A′B′，可证△A′CD为等边三角形，旋转角∠ACA′=90°-∠A′CD=30°，又可证△ACF、△A′EF为30°的直角三角形，从而可求△A′CD、△A′EF的面积，将它们的面积作差即可．

解答：解：由旋转的性质可知，Rt△A′B′C≌Rt△ABC，∠A=60°，
∴A′C=AC=2，A′B′=AB=2AC=4，
∵CD=

1

2

A′B′=2，
∴△A′CD为等边三角形，
∴旋转角∠ACA′=90°-∠A′CD=30°，
又∠A=∠A′=60°，
∴△ACF、△A′EF为30°的直角三角形，
∴S_{四边形CDEF}=S_△A′CD-S_△A′EF=

1

2

×2×

3

-

1

2

×(2-

3

)2×

3

=6-

5 3

2

=

12-5 3

2

．

点评：本题根据旋转的性质，边长的关系证明特殊三角形，把阴影部分面积化解为求两个特殊三角形面积差．