Question

设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．

（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）

表1．

1	2	3	﹣7
﹣2	﹣1	0	1

（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值

表2．

a	a2﹣1	﹣a	﹣a2
2﹣a	1﹣a2	a﹣2	a2

 

Answer 1

【答案】

解：（1）根据题意得：

改变第4列改变第2行

（2）a=1

【解析】

分析：（1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”，先改变表1的第4列，再改变第2行即可；

（2）根据每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案。

解：（1）根据题意得：

改变第4列改变第2行

（2）∵每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，

∴①如果操作第三列，为：

a	a2﹣1	a	﹣a2
2﹣a	1﹣a2	2﹣a	a2

 则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，每一列之和为非负整数，

由解得：，

又∵a为整数，∴a=1或a=2。

②如果操作第一行，为：

﹣a	1﹣a2	a	a2
2﹣a	1﹣a2	a﹣2	a2

则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a²，2a﹣2，2a²，每一行之和为非负整数，

由解得：a=1。

此时2﹣2a²=0，2a²=2，

综上可知：a=1。