Question

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°、动点P、Q同时从点A出发，其中点P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；点Q以的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）直接填空：AP=______cm，AQ=______cm（用含t的代数式表示，其中0＜t＜5）；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，PM+MN的值最小？
②当t为何值时，△PQM的面积S有最大值，此时最大值是多少？

Answer 1

解：（1）4t，

（2）①当点P、M、N在同一直线上时，PM+MN的值最小．
如图，在Rt△APM中，易知，
又∵，．
由AQ+QM=AM得：，
解得．
∴当时，PM+MN的值最小．…
②如图1，若0＜t≤5时，则AP=4t，．
则，
又∵，AB=20，
∴．
∴．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
，
当时，S有最大值．
②若5＜t≤10时，则CP=40-4t，PQ=20-2t，．
则，
又∵，CB=20，
∴．
又∵∠ACB=30°，
∴△QCP∽△OCB．
∴∠CQP=90°，即PQ⊥AC，
当时，S有最大值．
综上，当或时，S的最大值都是．
分析：（1）根据点P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；点Q以的速度，沿A→C的路线向点C运动，于是在时间t内即可求出两点运动的位移，即可求出AP和AQ的长度．
（2）①当点P、M、N在同一直线上时，PM+MN的值最小，根据AQ+QM=AM即可求出t的值，如图1，若0＜t≤5时，则AP=4t，，根据三角形相似证明∠AQP=90°，即PQ⊥AC，于是求出△PQM的面积S的最大值，同理求出当5＜t≤10时，△PQM的面积S的最大值．
点评：本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数的最值等知识点，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题是一道综合性比较强的习题，难度有点大．