Question

24、按下面规则扩充新数：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．
（1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
（2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．

Answer 1

分析：仔细阅读扩充新数规则：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．根据此规则运算即可．
（1）起始数是1和4
原数           产生新数            应取数
第一次扩充            1、4         1×4+1+4=9            4、9
第二次扩充            4、9         4×9+4+9=49           9、49
第三次扩充            9、49        9×49+9+49=499        49、499
（2）首先通过一般归纳得出，新数c用a、b表示的一般式子c+1=（a+1）^m•（b+1）^m+1．
进一步验证新数1999能否表示成2^m×5^m+1的形式，其中m取自然数．

解答：解：（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因为要求最大新数，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三数取9和49，就得到扩充三次的最大数为499．
（2）因c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，故c+1=（a+1）（b+1），
取数b、c可得新数d=（b+1）（c+1）-1=（b+1）（a+1）（b+1）-1=（a+1）（b+1）²-1，即d+1=（a+1）（b+1）²，
同理可得e=（c+1）（d+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）²-1，e+1=（a+1）²（b+1）³
第四次扩充：49×499+49+499=24999＞1999，
即第三次得到的新数为499，第四次得到的新数为24999，
故1999不可以通过上述规则扩充得到．

点评：做好本类题目的关键是要根据表达式与文字规则，弄清给定数值字符间蕴含的加减乘除运算关系．如本题中的按照规则c=ab+a+b，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．