Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为 ．

Answer 1

【答案】 或
【解析】解：如图1所示；点E与点F重合时．
在Rt△ABC中，BC= = =4．
由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．
设DC=ED=x，则BD=4﹣x．
在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2 ， 即x2+22=（4﹣x）2 ．
解得：x= ．
∴DE= ．
如图2所示：∠EDB=90时．

由翻折的性质可知：AC=AE，∠C=∠AED=90°．
∵∠C=∠AED=∠CDE=90°，
∴四边形ACDE为矩形．
又∵AC=AE，
∴四边形ACE′为正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BCA．
∴ = ，即 ．
解得：DF= ．
点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．
所以答案是： 或 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．