Question

【题目】如图，等边三角形中，点在边上，.点为边上一动点(不与点重合)，连接关于的轴对称图形为．

（1）当点在上时，求证：；

（2）当三点共线时，求的长；

（3）连接设的面积为的面积为记是否存在最大值？若存在，请直接写出的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在．最大值为．

【解析】

（1）根据轴对称图形性质，可得对称图形对应角等以及边等，结合等边三角形60°判断其同位角相等，进而推出两直线平行．

（2）根据轴对称图形性质，可得其对应边等以及对应角等，通过做垂直辅助线并结合等边三角形求解边长，根据“不同底但等高”面积原则求解边长比例，进而列方程求解．

（3）因为S1的面积确定，S面积的不确定性由S2决定，按照三角形面积公式将面积最值问题转化为线段最值问题，当S2的高最小时，其面积最小，S面积最大．

如图，由轴对称性可知，

，

当点在上时，，

．

由题意可知，

，

如图，过点作，垂足分别是点．

则，

设

则，

，

．

即，

，

，

．

构建以为半径的圆弧，如下图所示，当时，到的距离最小，取得最大值．

，

，

∴ ，

所以存在最大值，最大值为．