题目内容

已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合），∠EAF=60°，过点E作EM∥BC交AF于点M．
（1）如图1，求证：BF+DE=EM；
（2）连接BE交AF于点N，若AF：AE=2：3，FC=4，求MN的长．

分析：（1）延长CB至G，使GB=DE，连接AG、EF，根据等腰梯形的性质就可以得出△ABG≌△ADE，就可以得出GB=DE，再证明△AGF≌△AEF就可以得出GF=EF，∠AFB=∠AFE，由平行线的性质就可以得出∠AFB=∠EMF，就有∠EMF=∠AFE，得出ME=EF，从而得出结论；
（2）连接EF，作FQ⊥AE于Q，作DH∥AF，交ME于P，交BC于H，设AF=2x，AE=3x，由勾股定理就可以表示出AQ=x，EQ=2x，FQ=

x，EF=

x，通过证明△ABF∽△EAF就可以表示出BF=

，AB=

，DE=

，就可以得出HC=4-

，PE=

，由△PDE∽△HDC而求出x的值，再由△MNE∽△FNB就可以求出结论．

解答：解：（1）如图1，延长CB至G，使GB=DE，连接AG、EF，
∵AD∥BC，AB=AD=DC，
∴∠ABC=∠C，∠D=∠BAD，∠C+∠D=180°．
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，∠ABG=120°，
∴∠ABG=∠ADC．∠BAD=120．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAF+∠DAE=60°．
在△ABG和△ADE中，

AB=AD

∠ABG=∠ADC

GB=DE

，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴GB=DE．AG=AE，∠BAG=∠DAE．
∴∠BAF+∠GAB=60°，
即∠GAF=60°，
∴∠GAF=∠EAF．
∵GF=GB+BF，
∴GF=DE+BF．
在△AGF和△AEF中，

AG=AE

∠GAF=∠EAF

AF=AF

，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，∠AFB=∠AFE．
∵EM∥BC，
∴∠AFB=∠EMF，
∴∠EMF=∠AFE，
∴ME=EF，
∴ME=GF，
∴BF+DE=EM；

（2）如图2，连接EF，作FQ⊥AE于Q，
∴∠AQF=∠EQF=90°．
∵∠EAF=60°，
∴∠AFQ=30°，
∴AQ=

AF．
作DH∥AF，交ME于P，交BC于H，
∵AD∥BC，
∴四边形AFHD是平行四边形，
∴AD=FH．
∵AF：AE=2：3，设AF=2x，AE=3x，
∴AQ=x，EQ=2x．
在Rt△AQF和Rt△EQF中，由勾股定理，得
FQ=

x，EF=

x，
∴EM=

x．
∵∠AFB=∠AFE，∠ABF=∠EAF=60°，
∴△ABF∽△EAF，
∴

，
∴