Question

（1）如图1，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．求证：平行四边形ADBE是矩形．

Answer 1

（1）证明：连接OE，如图1，
∵BE是∠CBA的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE．
∵OE=OB，
∴∠ABE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC
∴∠OEC=∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线，；
（2）证明：如图2，
∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴平行四边形ADBE是矩形．
分析：（1）连接OE，由BE是∠CBA的角平分线得∠ABE=∠CBE，由OE=OB得∠ABE=∠OEB，则∠OEB=∠CBE，所以OE∥BC，则∠OEC=∠C=90°，即OE⊥AC，根据切线的判定得到AC是⊙O的切线，；
（2）AB=AC，AD是BC的边上的中线，根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB=90°，然后根据矩形的判定方法得到平行四边形ADBE是矩形．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了矩形的判定．