Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，G为AB中点，在线段DG上取点F，使FG=AG，过点F作FE⊥DG交AD于点E，连接EC交DG于点H．已知EC平分∠DEF．下列结论：①∠AFB=90°；②AF∥EC；③△EHD∽△BGF；④DH•FG=FH•DG．其中正确的是

1. A.
   只有①②
2. B.
   只有①②④
3. C.
   只有③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

B
分析：由G为AB的中点，得到AG=BG，再由FG=AG，得到FG为AB的一半，根据三角形中一边上的中线等于这边的一半，可得出这边所对的角为直角，即∠AFB=90°，得到选项①正确；由EF垂直于FG，EA垂直于AG，得到一对直角相等，再由FG=AG，利用等边对等角得到一对角相等，两等式相减可得出∠EFA=∠EAF，由EC为角平分线得到一对角相等，再由∠DEF为三角形AEF的外角，利用外角的性质及等量代换可得出一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得出AF与EC平行，故选项②正确；由FG=BG得到三角形BFG为等腰三角形，而三角形DEH不一定为等腰三角形，故两三角形不一定相似，选项③错误；由AF与EC平行，利用平行得比例，得到DH：HF=DE：AE，而AE=EF，等量代换得到DH：HF=DE：EF，再由一对直角相等及公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形DEF与三角形DAG相似，由相似得比例得到DE：EF=DG：AG，而AG=FG，等量代换可得出DE：EF=DG：FG，等量代换变形可得出选项④正确，综上，得到所有正确的选项为①②④．
解答：∵G为AB的中点，
∴AG=BG，又FG=AG，
∴FG=AG=BG，即FG=AB，
∴∠AFB=90°，
故选项①正确；
∵FG=AG，
∴∠GFA=∠GAF，
又EF⊥FD，
∴∠EFG=∠EAG=90°，
∴∠EFG-∠GFA=∠EAG-∠GAF，即∠EFA=∠EAF，
又EC为∠DEF的平分线，
∴∠DEC=∠FEC，
∵∠DEF为△EAF的外角，
∴∠DEF=∠DEC+∠FEC=2∠FEC=∠EFA+∠EAF=2∠EFA，
∴∠FEC=∠EFA，
∴AF∥EC，
故选项②正确；
而△EHD与△BGF不一定相似，故选项③错误；
∵AF∥EC，
∴=，
∵∠EFD=∠GAD=90°，∠EDF=∠GDA，
∴△EFD∽△GAD，
∴=，
∵∠EFA=∠EAF，
∴AE=EF，又AG=FG，
∴=，
∴=，即DH•FG=FH•DG，
故选项④正确，
综上，正确的选项有①②④．
故选B
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的外角性质，以及直角三角形斜边上中线性质的逆定理，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．