Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E、F分别是AC、BC上的动点，但始终保持AE=CF．
①求证：△DEF是等腰直角三角形．
②若AB=8

2

，点E在AC的什么位置时，△DEF的面积最小？并求出最小面积．

Answer 1

分析：（1）求出AD=BD，∠FAD=∠B，∠FDA=∠EDB，证出△FDA≌△EDB即可；
（2）根据垂线段最短作DE⊥AB于E，得出E为AB中点，此时△DEF的面积最小，求出DE的长即可．

解答：证明：∵AC=AB，AD⊥BD，∠CAB=90°，
∴AD⊥BC，∠FAD=∠DAB=∠B=∠C=45°，
∴∠ADB=90°，
∵ED⊥FD，
∴∠FDE=90°，
∴∠FDA=∠EDB=90°-∠ADE，
在△FDA和△EDB中，

∠FAD=∠B AD=BD ∠FDA=∠EDB

，
∴△FDA≌△EDB，
∴DF=DE，
∵∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）解：当点E在AB的中点上时，△DEF的面积最小，
理由是：∵∠FDE=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴△DEF的面积是

1

2

×DE×DF=

1

2

×DE×DE，
即要使△DEF得面积最小，只要DE的值最小即可，
根据垂线段最短，过D作DE⊥AB于E，
∵∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∵CD=BD，
∴AE=BE（即E为AB的中点），
∴DE=

1

2

AC=4，
∴△DEF的面积的最小值是

1

2

×4×4=8，
即当点E在AB的中点上时，△DEF的面积最小，△DEF的面积的最小值是8．

点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，平行线性质的应用，综合性比较强，有一定的难度．