Question

某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图甲，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．该小组通过多次尝试，最终选定乙图中的简便且易操作的三种横截面图形．在三个图的比较中，图

 

横截面图形的面积最大（填序号①②③），则围成最大的体积是

 

cm³．（结果保留根号）

Answer 1

分析：用x表示出三个图形的面积，利用棱柱的体积=底面积×高可知，高一定，面积大的体积一定大又从解答．

解答：解：①三角形的面积为：

1

2

x（60-x）=-

1

2

x²+30x=-

1

2

（x-30）²+450，
当x=30时，三角形的面积最大为450cm²；
②矩形的面积为：x（60-2x）=-2x²+60x=-2（x-15）²+450，
当x=15时，矩形的面积最大为450cm²；
③等腰梯形的面积为：

3

2

x（60-2x）+2×

1

2

×

1

2

x×

3

2

x=-

3 3

4

x²+30

3

x=-

3 3

4

（x-20）²+300

3

，
当x=20时，等腰梯形的面积最大为300

3

cm²；
因此围成最大的体积是300

3

×60=18000

3

cm³．
故答案为：③、18000

3

．

点评：此题主要利用三角形、矩形、等腰梯形的面积计算公式列出二次函数，进一步用配方法求得最大值，再利用棱柱体积计算出结果解决问题．