Question

已知：关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂，并且抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x₁|+|x₂|=时，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围．设抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，∴α、β是关于x的方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的两个不相等的实数根，再利用方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的根的判别式求a的取值范围，又∵抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系数的关系确定；
（2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值．
解答：解：（1）∵关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根
∴
解得：a＜0，且a≠-2   ①
设抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是关于x的方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的两个不相等的实数根
∵△=[-（2a+1）]²-4×1×（2a-5）=（2a-1）²+21＞0
∴a为任意实数②
由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=2a-5
∵抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁
∴α＜2，β＞2
∴（α-2）（β-2）＜0
∴αβ-2（α+β）+4＜0
∴2a-5-2（2a+1）+4＜0
解得：a＞-③
由①、②、③得a的取值范围是-＜a＜0；

（2）∵x₁和x₂是关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0的两个不相等的实数根
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∵-＜a＜0，∴a+2＞0
∴x₁x₂=＜0不妨设x₁＞0，x₂＜0
∴|x₁|+|x₂|=x₁-x₂=2
∴x₁²-2x₁x₂+x₂²=8，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8
∴（）²-=8
解这个方程，得：a₁=-4，a₂=-1（16分）
经检验，a₁=-4，a₂=-1都是方程（）²-=8的根
∵a=-4＜-，舍去
∴a=-1为所求．
点评：本题综合性强，考查了一元二次方程中的根与系数的关系和根的判别式的综合利用．