Question

如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．已知，，是的中点，是的中点．

（1）分别写出点、点的坐标；
（2）过点作交轴于点，求点的坐标；
（3）在线段上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）E（8，3），F（4，6）
（2）M（，0）
（3）存在点P（0，3），此时△PEF是等腰三角形

解：（1）E（8，3），F（4，6）　　　　　　……………………3分
（2）∵
∴
∵
∴
　　又∵
∴△AEM∽△BFE　　………………5分
∴
即
∴　　　　　　　　　　　　　……………………7分
∴
∴M（，0）　　　　　　　　　　　　……………………9分
（3）如图，设P（0，n）过点P作PH⊥AB于点H，

在Rt△中，

在Rt△中，
在Rt△中，
①当时
　　　　
　　　即＝
　　　　解得（不合题意，舍去）　　　　……………………10分
②当时
　　　
　　　即＝25
　　　　此方程无解　　　　　　　　　　　　　……………………11分
③当时
　　　
　　　即＝25
　　　解得，＝9（不合题意，舍去）　　　……………………12分
综上，存在点P（0，3），此时△PEF是等腰三角形．……………………13分