Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．（写出理由）

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，
∴，
解得：，
故此二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3，
∴与y轴的交点C的坐标为（0，-3），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标（1，-4），对称轴为直线x=1．
图象如右所示：

（3）△MCD是等腰直角三角形．理由如下：
∵C（0，-3），
∴点D（2，-3），
∵M（1，-4），
∴CD=2，CM=，DM=，
∴CD²=CM²+DM²，CM=DM，
∴△MCD的形状为等腰直角三角形．
分析：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c，运用待定系数法即可求出这个函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式，可求出抛物线的对称轴，顶点坐标，与y轴的交点坐标，根据已知条件，可知抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），分别在坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接即可作出这个二次函数的图象；
（3）根据题意，首先求得点C，D，M的坐标，即可求得CD，CM，DM的长，然后由勾股定理的逆定理，可确定△MCD是直角三角形，又由CM=DM，即可得出△MCD的形状是等腰直角三角形．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的画法以及勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．