Question

如图，抛物线与x轴交于A(x₁,0)，B(x₂,0)两点，且x₁＞x₂，与y轴交于点C(0,4)，其中x₁,x₂是方程x²-2x-8=0的两个根.

　　

 (1)求这条抛物线的解析式；

　　(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

　　(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1) ∵x²-2x-8=0 ，∴(x-4)(x+2)=0 .∴x₁=4,x₂=-2.

　　∴A(4,0) ,B(-2,0).

　　又∵抛物线经过点A、B、C,设抛物线解析式为y=ax²+bx+c (a≠0)，

　　∴ 　　∴

　　∴所求抛物线的解析式为.

　　(2)设P点坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G.

　　∵点B坐标为(-2，0)，点A坐标(4,0)，

　　∴AB=6， BP=m+2.

　　∵PE∥AC，

　　∴△BPE∽△BAC.

　　∴.

　　∴.

　　∴S_△CPE= S_△CBP- S_△EBP

　　=.

　　∴

　　 .

　　∴.

　　又∵-2≤m≤4，

　　∴当m=1时，S_△CPE有最大值3.

　　此时P点的坐标为(1，0).

　　(3)存在Q点，其坐标为Q₁(1，1)，

　　，

　　，

　　，