Question

已知，点O为矩形BHCM的对称中心，将一直角的顶点放在点O处，绕点O旋转，直角两边分别交直线BH、HC于E、D两点．
（1）如图1，当BH=CH时，探究OE与OD的数量关系，并证明；
（2）如图2，当BH=nCH时，直接写出OE：OD=______．

Answer 1

解：（1）OE与OD的数量关系为OD=OE．理由如下：
作ON⊥CH于N，OF⊥BH于H，如图1，
∵点O为矩形BHCM的对称中心，
∴OF=CH，ON=BH，
而BH=CH，
∴ON=OF，
∵∠DOE=90°，即∠DON+∠NOE=90°，
而∠NOF=90°，即∠NOE+∠EOF=90°，
∴∠DON=∠EOF，
∴Rt△EOF∽Rt△DON，
∴OE：OD=OF：ON=1：，
∴OD=OE；

（2）作ON⊥CH于N，OF⊥BH于H，如图2，
∵BH=nCH，
∴ON=nOF，
同理可证Rt△EOF∽Rt△DON，
∴OE：OD=OF：ON=1：n．
故答案为1：n．
分析：（1）作ON⊥CH于N，OF⊥BH于H，如图1，根据矩形的性质得到OF=CH，ON=BH，由BH=CH得到ON=OF，再根据等角的余角相等得到∠DON=∠EOF，
，根据三角形相似的判定得Rt△EOF∽Rt△DON，则OE：OD=OF：ON=1：；
（2）与（1）同样的方法可得到OE：OD=OF：ON=1：n．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了矩形的性质．