Question

抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过点A（1，），对称轴是直线x=2，顶点是D，与x轴正半轴的交点为点B．
（1）求抛物线y=ax²+bx（a≠0）的解析式和顶点D的坐标；　　
（2）过点D作y轴的垂线交y轴于点C，点M在射线BO上，当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，得，
解得：．
则抛物线y=ax²+bx（a≠0）的解析式，顶点D（2，3）．

（2）设⊙M的半径为r．
由当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，分下列两种情况：
①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上，
可得3²+（4-r-1）²=（r+1）²．
解得，
∴．
②当⊙M和⊙N内切时，此时点M在线段BO的延长线上，
可得3²+（r-1-2）²=（r-1）²．
解得，
∴．
综合①、②可知，当⊙M和⊙N相切时，或．
分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过点A（1，），对称轴是直线x=2，可得关于a，b的方程组，求得a，b的值，从而得到抛物线y=ax²+bx（a≠0）的解析式；再根据顶点坐标公式即可得到顶点D的坐标；
（2）设⊙M的半径为r．分两种情况：①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上；②当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO的延长线上；列出关于r的方程，求得r的值，从而得到点M的坐标．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，对称轴公式、顶点坐标公式；第（2）问注意分内切和外切两种情况讨论求解，综合性较强．