Question

如图，在?ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．

Answer 1

分析：（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，又因为又∠DAE=∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；
（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以

AB

EC

=

BE

CF

，由平行四边形的性质可知BC=AD=8，所以EC=BC-BE=8-2=6，代入计算即可．

解答：（1）证明：如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．
又∵∠DAE=∠F，
∴∠AEB=∠F．
∴△ABE∽△ECF；

（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴

AB

EC

=

BE

CF

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8．
∴EC=BC-BE=8-2=6．
∴

5

6

=

2

CF

．
∴CF=

12

5

．

点评：本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，是中考常见题型．