题目内容
已知：直角梯形
中，
∥
，∠
=
，以
为直径的圆
交
于点
、
，连结
、
、
.
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形：
_____________________，______________________ ；
（2）直角梯形中，以
为坐标原点，
在
轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线
经过点、
、，且为抛物线的顶点.
①写出顶点的坐标（用含
的代数式表示）___________；
②求抛物线的解析式；
③在轴下方的抛物线上是否存在这样的点
，过点作
⊥轴于点
，使得以点、、为顶点的三角形与△
相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（2）①（1，
）；②y=-x2+2x+3；③（-2，-5）
解析试题分析：（1）由圆周角定理知：∠ADB=90°，首先可联想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一对相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；
（2）①用公式法或配方法均能求出顶点B的坐标；
②根据抛物线的解析式，易求得B、D、A的坐标，也就得到了OA、OD、CD、BC的长，根据（1）得出的相似三角形，即可根据对应的成比例线段求出a的值，也就能求出抛物线的解析式；
③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN与△OAD相似，则△PAN也必须是等腰Rt△；可根据抛物线的解析式设出P点坐标，然后根据PN=AN的条件来求出P点的坐标．（注意P点横坐标的取值范围）.
（1）△
∽△
，△∽△
；
（2）①（1，）
②∵△OAD∽△CDB
∵ax2-2ax-3a=0，可得A（3，0）
又∵OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴a2=1，
∵a＜0，
∴a=-1；
故抛物线的解析式为
；
③存在，
设P（x，-x2+2x+3）
∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形
∴PN=AN
当x＜0（x＜-1）时，-x+3=-（-x2+2x+3），x1=-2，x2=3（舍去），
∴P（-2，-5）
当x＞0（x＞3）时，x-3=-（-x2+2x+3），x1=0，x2=3；（都不合题意舍去）
符合条件的点P为（-2，-5）．
考点：圆的综合题
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案
中，
∥
，∠
=
，以
为直径的圆
交
于点
、
，连结
、
、
.
为坐标原点，
在
轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线
经过点
、
的代数式表示）___________；
，过点
⊥
，使得以点
相似？若存在，求出点
中，
轴于点
．动点
从
点出发，沿
轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过
垂直于直线
，垂足为
．设
秒（
），
与直角梯形
．
三点的抛物线解析式；
，是否存在
中，
轴于点
．动点
从
点出发，沿
轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过
垂直于直线
，垂足为
．设
秒（
），
与直角梯形
．
三点的抛物线解析式；
，是否存在
中，
轴于点
．动点
从
点出发，沿
轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过
垂直于直线
，垂足为
．设
秒（
），
与直角梯形
．
三点的抛物线解析式；
，是否存在
中，
轴于点
．动点
从
点出发，沿
轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过
垂直于直线
，垂足为
．设
秒（
），
与直角梯形
．
三点的抛物线解析式；
，是否存在