Question

【题目】如图，已知一个三角形纸片，其中，分别是边上的点，连接．

（1）如图，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使S四边形ECBF，求的长；

（2）如图，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使．试判断四边形的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）菱形，见解析；

【解析】

（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF=S△DEF，则易得S△ABC=5S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面积比和AB，AE的关系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）连结AM交EF于点O，利用平行线的性质证明AE=EM=MF=AF，即可判断四边形AEMF为菱形；

解：（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF=S△DEF，
∵S四边形ECBF=4S△EDF，
∴S△ABC=5S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴ ，即，
∴AE=2，
由折叠知，DE=AE=2
（2）连结AM交EF于点O，如图2，

∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形.