Question

已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：几何图形问题

分析：根据黄金分割点的定义，只需证明AH²=AB•HB即可．

解答：解：设正方形ABCD的边长为2a，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，
由勾股定理知EB=

AB2+AE2

=

5

a，
∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=（

5

-1）a，
HB=AB-AH=（3-

5

）a；
∴AH²=（6-2

5

）a²，
AB•HB=2a×（3-

5

）a=（6-2

5

）a²，
∴AH²=AB•HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．

点评：本题考查黄金分割的概念，勾股定理，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．