Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数．

Answer 1

考点：

切线的判定；等边三角形的判定；圆周角定理．.

专题：

计算题；证明题；压轴题．

分析：

（1）连接AD，OD，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，可得DF⊥OD，故得到证明；

（2）根据题意，△ABC是等边三角形，可得BG是AC的垂直平分线，再根据平行线的性质，可得△ACG是等边三角形，故∠AGC=60°．

解答：

（1）证明：连接AD，OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC．（2分）

∵△ABC是等腰三角形，

∴BD=DC，

又∵AO=BO，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，（4分）

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线．（5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴BG⊥AC．

∵△ABC是等边三角形，

∴BG是AC的垂直平分线，

∴GA=GC．（7分）

又∵AG∥BC，∠ACB=60°，

∴∠CAG=∠ACB=60°．

∴△ACG是等边三角形．

∴∠AGC=60°．（9分）