Question

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°.

(1)如图，点M在斜边AB上，且AC＝，MA＝，则线段MB＝___________，MC=__________；

(2)如图，点M在ABC外，MA＝2，MC＝5，∠AMC＝45°，求MB；

(3)如图，点M在ABC外，MA＝3，MB＝，MC＝6，求AC.

Answer 1

【答案】（1）MB=,MC=2；（2）MB=；（3）.

【解析】

（1）过点C作，则 垂直平分，由△ABC是等腰直角三角形，可求得的长，进而求出的长，则即可解得；

（2）过点C作CN⊥CM，交的延长线于点,连接,由可证得是等腰直角三角形,根据等腰三角形的性质可求出的长，由△ABC是等腰直角三角形,可证得，进而证明，，再根据勾股定理即可求得的长；

（3）过C作CD⊥CM且CD=CM，连接BD、MD，延长AM，DB交于E.根据等腰直角三角形的性质可证得 进而证明是直角三角形， 设，

求出，再根据勾股定理即可求得的长 .

（1）∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝，

∴ , ，

过点C作，则 垂直平分，

，

,

,

.

（2）过点C作CN⊥CM，交的延长线于点,连接,

∴是等腰直角三角形,

∵,

,

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴CA=CB，∠ACB=90°

∴,

即

∴

∴, ，

∴ ,

在中，

.

（3）过C作CD⊥CM且CD=CM，连接BD、MD，延长AM，DB交于E.

则，

∵△ABC是等腰直角三角形,

，

，

即,

又 ,

,

在和中，

,

设，

，

，

解得： ，

，

,

∴