Question

已知关于y的方程y²-2ay-2a-4=0．
（1）证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；
（2）a为何值时，方程的两根之差的平方等于16？

Answer 1

解：（1）证明：△=（-2a）²-4×1×（-2a-4），
=4a²+8a+16，
=4（a²+2a+1）+12，
=4（a+1）²+12，
∵（a+1）²≥0，
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的 实数根；

（2）设两根为：y₁，y₂，
（y₁-y₂）²=16，
y₁²-2y₁y₂+y₂²=16，
（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16，
（2a）²-4（-2a-4）=16，
4a²+8a=0，
a₁=0，a₂=-2，
∴a为0或-2时，方程的两根之差的平方等于16．
分析：（1）根据方程，求出△的值，判断出△是否＞0即可；
（2）设两根为：y₁，y₂，根据题意得：（y₁-y₂）²=16，然后进行变形可得（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16，再利用根与系数的关系得到关于a的一元二次方程，解方程可得答案．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，根的判别式，根据把握准①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．