Question

如图，直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l₁和l₂上的动点，线段MN沿l₁和l₂平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（　　）

• A、l₁与l₂之间的距离为2
• B、MN=

  4 3

  3

• C、若MN与⊙O相切，则∠MON=90°
• D、若MN与⊙O相交，则AM≥

  3

Answer 1

考点：切线的性质

专题：几何图形问题

分析：A、根据切线的性质知直线AC和BD的距离为该圆的直径；
B、过M作MF垂直于BD，可得出MF=AB=2，在直角三角形MNF中，由∠MNF的度数及MF的长，利用锐角三角函数定义求出MN的长，即可做出判断．
C、当MN与圆O相切时，求出∠MON度数即可做出判断；
D、当MN与圆O相切时，设切点为E，连接OE，OM，利用切线长定理得到MA=ME，且MO为角平分线，求出∠AMO为30°，在直角三角形AOM中，由OA及tan30°，求出AM，即可做出判断，继而可得MN与⊙O相交时，AM的取值．

解答：解：A、l₁∥l₂，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB=2，正确．
B、作MF⊥BD，
∵AC∥BD，
∴∠MNF=∠AME=60°，
∵MF=AB=2，
在Rt△MNF中，MF=2，∠MNF=60°，
则MN=

AB

sin60°

=

4 3

3

，正确；
C、若MN与⊙O相切，设切点为E，连接OE，
则OE⊥MN，
∴∠OAM=∠OEM=90°，
在Rt△OAM和Rt△OEM中，

OA=OE OM=OM

，
∴Rt△OAM≌Rt△OEM（HL），
∴∠AOM=∠EOM，
同理：∠BON=∠EON，
∴∠MON=

1

2

×180°=90°，故正确；
D、当MN与⊙O相切时切点为E点，连接OM，OE，
∴MA=ME，MO为∠AME平分线，
∵∠AME=60°，
∴∠AMO=30°，
在Rt△AOM中，OA=1，
∴AM=

1

tan30°

=

3

，
同理：AM=

3

3

，
∴当MN与圆相切时，AM=

3

或

3

3

，
∴若MN与⊙O相交，则

3

3

＜AM＜

3

．故错误．
故选D．

点评：此题考查了切线的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．